3.15 \(\int x \csc ^7(a+b x^2) \, dx\)

Optimal. Leaf size=90 \[ -\frac{5 \tanh ^{-1}\left (\cos \left (a+b x^2\right )\right )}{32 b}-\frac{\cot \left (a+b x^2\right ) \csc ^5\left (a+b x^2\right )}{12 b}-\frac{5 \cot \left (a+b x^2\right ) \csc ^3\left (a+b x^2\right )}{48 b}-\frac{5 \cot \left (a+b x^2\right ) \csc \left (a+b x^2\right )}{32 b} \]

[Out]

(-5*ArcTanh[Cos[a + b*x^2]])/(32*b) - (5*Cot[a + b*x^2]*Csc[a + b*x^2])/(32*b) - (5*Cot[a + b*x^2]*Csc[a + b*x
^2]^3)/(48*b) - (Cot[a + b*x^2]*Csc[a + b*x^2]^5)/(12*b)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0757443, antiderivative size = 90, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 5, number of rules used = 3, integrand size = 12, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.25, Rules used = {4205, 3768, 3770} \[ -\frac{5 \tanh ^{-1}\left (\cos \left (a+b x^2\right )\right )}{32 b}-\frac{\cot \left (a+b x^2\right ) \csc ^5\left (a+b x^2\right )}{12 b}-\frac{5 \cot \left (a+b x^2\right ) \csc ^3\left (a+b x^2\right )}{48 b}-\frac{5 \cot \left (a+b x^2\right ) \csc \left (a+b x^2\right )}{32 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x*Csc[a + b*x^2]^7,x]

[Out]

(-5*ArcTanh[Cos[a + b*x^2]])/(32*b) - (5*Cot[a + b*x^2]*Csc[a + b*x^2])/(32*b) - (5*Cot[a + b*x^2]*Csc[a + b*x
^2]^3)/(48*b) - (Cot[a + b*x^2]*Csc[a + b*x^2]^5)/(12*b)

Rule 4205

Int[((a_.) + Csc[(c_.) + (d_.)*(x_)^(n_)]*(b_.))^(p_.)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> Dist[1/n, Subst[Int[x^(Simplif
y[(m + 1)/n] - 1)*(a + b*Csc[c + d*x])^p, x], x, x^n], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n, p}, x] && IGtQ[Simplify[
(m + 1)/n], 0] && IntegerQ[p]

Rule 3768

Int[(csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]*(b_.))^(n_), x_Symbol] :> -Simp[(b*Cos[c + d*x]*(b*Csc[c + d*x])^(n - 1))/(d*(n -
1)), x] + Dist[(b^2*(n - 2))/(n - 1), Int[(b*Csc[c + d*x])^(n - 2), x], x] /; FreeQ[{b, c, d}, x] && GtQ[n, 1
] && IntegerQ[2*n]

Rule 3770

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[Cos[c + d*x]]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rubi steps

\begin{align*} \int x \csc ^7\left (a+b x^2\right ) \, dx &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \csc ^7(a+b x) \, dx,x,x^2\right )\\ &=-\frac{\cot \left (a+b x^2\right ) \csc ^5\left (a+b x^2\right )}{12 b}+\frac{5}{12} \operatorname{Subst}\left (\int \csc ^5(a+b x) \, dx,x,x^2\right )\\ &=-\frac{5 \cot \left (a+b x^2\right ) \csc ^3\left (a+b x^2\right )}{48 b}-\frac{\cot \left (a+b x^2\right ) \csc ^5\left (a+b x^2\right )}{12 b}+\frac{5}{16} \operatorname{Subst}\left (\int \csc ^3(a+b x) \, dx,x,x^2\right )\\ &=-\frac{5 \cot \left (a+b x^2\right ) \csc \left (a+b x^2\right )}{32 b}-\frac{5 \cot \left (a+b x^2\right ) \csc ^3\left (a+b x^2\right )}{48 b}-\frac{\cot \left (a+b x^2\right ) \csc ^5\left (a+b x^2\right )}{12 b}+\frac{5}{32} \operatorname{Subst}\left (\int \csc (a+b x) \, dx,x,x^2\right )\\ &=-\frac{5 \tanh ^{-1}\left (\cos \left (a+b x^2\right )\right )}{32 b}-\frac{5 \cot \left (a+b x^2\right ) \csc \left (a+b x^2\right )}{32 b}-\frac{5 \cot \left (a+b x^2\right ) \csc ^3\left (a+b x^2\right )}{48 b}-\frac{\cot \left (a+b x^2\right ) \csc ^5\left (a+b x^2\right )}{12 b}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.0885973, size = 167, normalized size = 1.86 \[ -\frac{\csc ^6\left (\frac{1}{2} \left (a+b x^2\right )\right )}{768 b}-\frac{\csc ^4\left (\frac{1}{2} \left (a+b x^2\right )\right )}{128 b}-\frac{5 \csc ^2\left (\frac{1}{2} \left (a+b x^2\right )\right )}{128 b}+\frac{\sec ^6\left (\frac{1}{2} \left (a+b x^2\right )\right )}{768 b}+\frac{\sec ^4\left (\frac{1}{2} \left (a+b x^2\right )\right )}{128 b}+\frac{5 \sec ^2\left (\frac{1}{2} \left (a+b x^2\right )\right )}{128 b}+\frac{5 \log \left (\sin \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^2\right )\right )\right )}{32 b}-\frac{5 \log \left (\cos \left (\frac{1}{2} \left (a+b x^2\right )\right )\right )}{32 b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[x*Csc[a + b*x^2]^7,x]

[Out]

(-5*Csc[(a + b*x^2)/2]^2)/(128*b) - Csc[(a + b*x^2)/2]^4/(128*b) - Csc[(a + b*x^2)/2]^6/(768*b) - (5*Log[Cos[(
a + b*x^2)/2]])/(32*b) + (5*Log[Sin[(a + b*x^2)/2]])/(32*b) + (5*Sec[(a + b*x^2)/2]^2)/(128*b) + Sec[(a + b*x^
2)/2]^4/(128*b) + Sec[(a + b*x^2)/2]^6/(768*b)

________________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.023, size = 94, normalized size = 1. \begin{align*} -{\frac{\cot \left ( b{x}^{2}+a \right ) \left ( \csc \left ( b{x}^{2}+a \right ) \right ) ^{5}}{12\,b}}-{\frac{5\,\cot \left ( b{x}^{2}+a \right ) \left ( \csc \left ( b{x}^{2}+a \right ) \right ) ^{3}}{48\,b}}-{\frac{5\,\csc \left ( b{x}^{2}+a \right ) \cot \left ( b{x}^{2}+a \right ) }{32\,b}}+{\frac{5\,\ln \left ( \csc \left ( b{x}^{2}+a \right ) -\cot \left ( b{x}^{2}+a \right ) \right ) }{32\,b}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x*csc(b*x^2+a)^7,x)

[Out]

-1/12*cot(b*x^2+a)*csc(b*x^2+a)^5/b-5/48*cot(b*x^2+a)*csc(b*x^2+a)^3/b-5/32*cot(b*x^2+a)*csc(b*x^2+a)/b+5/32/b
*ln(csc(b*x^2+a)-cot(b*x^2+a))

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 1.3985, size = 4783, normalized size = 53.14 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*csc(b*x^2+a)^7,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/192*(4*(15*cos(11*b*x^2 + 11*a) - 85*cos(9*b*x^2 + 9*a) + 198*cos(7*b*x^2 + 7*a) + 198*cos(5*b*x^2 + 5*a) -
85*cos(3*b*x^2 + 3*a) + 15*cos(b*x^2 + a))*cos(12*b*x^2 + 12*a) - 60*(6*cos(10*b*x^2 + 10*a) - 15*cos(8*b*x^2
+ 8*a) + 20*cos(6*b*x^2 + 6*a) - 15*cos(4*b*x^2 + 4*a) + 6*cos(2*b*x^2 + 2*a) - 1)*cos(11*b*x^2 + 11*a) + 24*(
85*cos(9*b*x^2 + 9*a) - 198*cos(7*b*x^2 + 7*a) - 198*cos(5*b*x^2 + 5*a) + 85*cos(3*b*x^2 + 3*a) - 15*cos(b*x^2
+ a))*cos(10*b*x^2 + 10*a) - 340*(15*cos(8*b*x^2 + 8*a) - 20*cos(6*b*x^2 + 6*a) + 15*cos(4*b*x^2 + 4*a) - 6*c
os(2*b*x^2 + 2*a) + 1)*cos(9*b*x^2 + 9*a) + 60*(198*cos(7*b*x^2 + 7*a) + 198*cos(5*b*x^2 + 5*a) - 85*cos(3*b*x
^2 + 3*a) + 15*cos(b*x^2 + a))*cos(8*b*x^2 + 8*a) - 792*(20*cos(6*b*x^2 + 6*a) - 15*cos(4*b*x^2 + 4*a) + 6*cos
(2*b*x^2 + 2*a) - 1)*cos(7*b*x^2 + 7*a) - 80*(198*cos(5*b*x^2 + 5*a) - 85*cos(3*b*x^2 + 3*a) + 15*cos(b*x^2 +
a))*cos(6*b*x^2 + 6*a) + 792*(15*cos(4*b*x^2 + 4*a) - 6*cos(2*b*x^2 + 2*a) + 1)*cos(5*b*x^2 + 5*a) - 300*(17*c
os(3*b*x^2 + 3*a) - 3*cos(b*x^2 + a))*cos(4*b*x^2 + 4*a) + 340*(6*cos(2*b*x^2 + 2*a) - 1)*cos(3*b*x^2 + 3*a) -
360*cos(2*b*x^2 + 2*a)*cos(b*x^2 + a) + 15*(2*(6*cos(10*b*x^2 + 10*a) - 15*cos(8*b*x^2 + 8*a) + 20*cos(6*b*x^
2 + 6*a) - 15*cos(4*b*x^2 + 4*a) + 6*cos(2*b*x^2 + 2*a) - 1)*cos(12*b*x^2 + 12*a) - cos(12*b*x^2 + 12*a)^2 + 1
2*(15*cos(8*b*x^2 + 8*a) - 20*cos(6*b*x^2 + 6*a) + 15*cos(4*b*x^2 + 4*a) - 6*cos(2*b*x^2 + 2*a) + 1)*cos(10*b*
x^2 + 10*a) - 36*cos(10*b*x^2 + 10*a)^2 + 30*(20*cos(6*b*x^2 + 6*a) - 15*cos(4*b*x^2 + 4*a) + 6*cos(2*b*x^2 +
2*a) - 1)*cos(8*b*x^2 + 8*a) - 225*cos(8*b*x^2 + 8*a)^2 + 40*(15*cos(4*b*x^2 + 4*a) - 6*cos(2*b*x^2 + 2*a) + 1
)*cos(6*b*x^2 + 6*a) - 400*cos(6*b*x^2 + 6*a)^2 + 30*(6*cos(2*b*x^2 + 2*a) - 1)*cos(4*b*x^2 + 4*a) - 225*cos(4
*b*x^2 + 4*a)^2 - 36*cos(2*b*x^2 + 2*a)^2 + 2*(6*sin(10*b*x^2 + 10*a) - 15*sin(8*b*x^2 + 8*a) + 20*sin(6*b*x^2
+ 6*a) - 15*sin(4*b*x^2 + 4*a) + 6*sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin(12*b*x^2 + 12*a) - sin(12*b*x^2 + 12*a)^2 + 12*(15
*sin(8*b*x^2 + 8*a) - 20*sin(6*b*x^2 + 6*a) + 15*sin(4*b*x^2 + 4*a) - 6*sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin(10*b*x^2 + 10*
a) - 36*sin(10*b*x^2 + 10*a)^2 + 30*(20*sin(6*b*x^2 + 6*a) - 15*sin(4*b*x^2 + 4*a) + 6*sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin
(8*b*x^2 + 8*a) - 225*sin(8*b*x^2 + 8*a)^2 + 120*(5*sin(4*b*x^2 + 4*a) - 2*sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin(6*b*x^2 + 6
*a) - 400*sin(6*b*x^2 + 6*a)^2 - 225*sin(4*b*x^2 + 4*a)^2 + 180*sin(4*b*x^2 + 4*a)*sin(2*b*x^2 + 2*a) - 36*sin
(2*b*x^2 + 2*a)^2 + 12*cos(2*b*x^2 + 2*a) - 1)*log(cos(b*x^2)^2 + 2*cos(b*x^2)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(b*x^2)^
2 - 2*sin(b*x^2)*sin(a) + sin(a)^2) - 15*(2*(6*cos(10*b*x^2 + 10*a) - 15*cos(8*b*x^2 + 8*a) + 20*cos(6*b*x^2 +
6*a) - 15*cos(4*b*x^2 + 4*a) + 6*cos(2*b*x^2 + 2*a) - 1)*cos(12*b*x^2 + 12*a) - cos(12*b*x^2 + 12*a)^2 + 12*(
15*cos(8*b*x^2 + 8*a) - 20*cos(6*b*x^2 + 6*a) + 15*cos(4*b*x^2 + 4*a) - 6*cos(2*b*x^2 + 2*a) + 1)*cos(10*b*x^2
+ 10*a) - 36*cos(10*b*x^2 + 10*a)^2 + 30*(20*cos(6*b*x^2 + 6*a) - 15*cos(4*b*x^2 + 4*a) + 6*cos(2*b*x^2 + 2*a
) - 1)*cos(8*b*x^2 + 8*a) - 225*cos(8*b*x^2 + 8*a)^2 + 40*(15*cos(4*b*x^2 + 4*a) - 6*cos(2*b*x^2 + 2*a) + 1)*c
os(6*b*x^2 + 6*a) - 400*cos(6*b*x^2 + 6*a)^2 + 30*(6*cos(2*b*x^2 + 2*a) - 1)*cos(4*b*x^2 + 4*a) - 225*cos(4*b*
x^2 + 4*a)^2 - 36*cos(2*b*x^2 + 2*a)^2 + 2*(6*sin(10*b*x^2 + 10*a) - 15*sin(8*b*x^2 + 8*a) + 20*sin(6*b*x^2 +
6*a) - 15*sin(4*b*x^2 + 4*a) + 6*sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin(12*b*x^2 + 12*a) - sin(12*b*x^2 + 12*a)^2 + 12*(15*si
n(8*b*x^2 + 8*a) - 20*sin(6*b*x^2 + 6*a) + 15*sin(4*b*x^2 + 4*a) - 6*sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin(10*b*x^2 + 10*a)
- 36*sin(10*b*x^2 + 10*a)^2 + 30*(20*sin(6*b*x^2 + 6*a) - 15*sin(4*b*x^2 + 4*a) + 6*sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin(8*
b*x^2 + 8*a) - 225*sin(8*b*x^2 + 8*a)^2 + 120*(5*sin(4*b*x^2 + 4*a) - 2*sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin(6*b*x^2 + 6*a)
- 400*sin(6*b*x^2 + 6*a)^2 - 225*sin(4*b*x^2 + 4*a)^2 + 180*sin(4*b*x^2 + 4*a)*sin(2*b*x^2 + 2*a) - 36*sin(2*
b*x^2 + 2*a)^2 + 12*cos(2*b*x^2 + 2*a) - 1)*log(cos(b*x^2)^2 - 2*cos(b*x^2)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(b*x^2)^2 +
2*sin(b*x^2)*sin(a) + sin(a)^2) + 4*(15*sin(11*b*x^2 + 11*a) - 85*sin(9*b*x^2 + 9*a) + 198*sin(7*b*x^2 + 7*a)
+ 198*sin(5*b*x^2 + 5*a) - 85*sin(3*b*x^2 + 3*a) + 15*sin(b*x^2 + a))*sin(12*b*x^2 + 12*a) - 60*(6*sin(10*b*x
^2 + 10*a) - 15*sin(8*b*x^2 + 8*a) + 20*sin(6*b*x^2 + 6*a) - 15*sin(4*b*x^2 + 4*a) + 6*sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin
(11*b*x^2 + 11*a) + 24*(85*sin(9*b*x^2 + 9*a) - 198*sin(7*b*x^2 + 7*a) - 198*sin(5*b*x^2 + 5*a) + 85*sin(3*b*x
^2 + 3*a) - 15*sin(b*x^2 + a))*sin(10*b*x^2 + 10*a) - 340*(15*sin(8*b*x^2 + 8*a) - 20*sin(6*b*x^2 + 6*a) + 15*
sin(4*b*x^2 + 4*a) - 6*sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin(9*b*x^2 + 9*a) + 60*(198*sin(7*b*x^2 + 7*a) + 198*sin(5*b*x^2 +
5*a) - 85*sin(3*b*x^2 + 3*a) + 15*sin(b*x^2 + a))*sin(8*b*x^2 + 8*a) - 792*(20*sin(6*b*x^2 + 6*a) - 15*sin(4*
b*x^2 + 4*a) + 6*sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin(7*b*x^2 + 7*a) - 80*(198*sin(5*b*x^2 + 5*a) - 85*sin(3*b*x^2 + 3*a) +
15*sin(b*x^2 + a))*sin(6*b*x^2 + 6*a) + 2376*(5*sin(4*b*x^2 + 4*a) - 2*sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin(5*b*x^2 + 5*a)
- 300*(17*sin(3*b*x^2 + 3*a) - 3*sin(b*x^2 + a))*sin(4*b*x^2 + 4*a) + 2040*sin(3*b*x^2 + 3*a)*sin(2*b*x^2 + 2
*a) - 360*sin(2*b*x^2 + 2*a)*sin(b*x^2 + a) + 60*cos(b*x^2 + a))/(b*cos(12*b*x^2 + 12*a)^2 + 36*b*cos(10*b*x^2
+ 10*a)^2 + 225*b*cos(8*b*x^2 + 8*a)^2 + 400*b*cos(6*b*x^2 + 6*a)^2 + 225*b*cos(4*b*x^2 + 4*a)^2 + 36*b*cos(2
*b*x^2 + 2*a)^2 + b*sin(12*b*x^2 + 12*a)^2 + 36*b*sin(10*b*x^2 + 10*a)^2 + 225*b*sin(8*b*x^2 + 8*a)^2 + 400*b*
sin(6*b*x^2 + 6*a)^2 + 225*b*sin(4*b*x^2 + 4*a)^2 - 180*b*sin(4*b*x^2 + 4*a)*sin(2*b*x^2 + 2*a) + 36*b*sin(2*b
*x^2 + 2*a)^2 - 2*(6*b*cos(10*b*x^2 + 10*a) - 15*b*cos(8*b*x^2 + 8*a) + 20*b*cos(6*b*x^2 + 6*a) - 15*b*cos(4*b
*x^2 + 4*a) + 6*b*cos(2*b*x^2 + 2*a) - b)*cos(12*b*x^2 + 12*a) - 12*(15*b*cos(8*b*x^2 + 8*a) - 20*b*cos(6*b*x^
2 + 6*a) + 15*b*cos(4*b*x^2 + 4*a) - 6*b*cos(2*b*x^2 + 2*a) + b)*cos(10*b*x^2 + 10*a) - 30*(20*b*cos(6*b*x^2 +
6*a) - 15*b*cos(4*b*x^2 + 4*a) + 6*b*cos(2*b*x^2 + 2*a) - b)*cos(8*b*x^2 + 8*a) - 40*(15*b*cos(4*b*x^2 + 4*a)
- 6*b*cos(2*b*x^2 + 2*a) + b)*cos(6*b*x^2 + 6*a) - 30*(6*b*cos(2*b*x^2 + 2*a) - b)*cos(4*b*x^2 + 4*a) - 12*b*
cos(2*b*x^2 + 2*a) - 2*(6*b*sin(10*b*x^2 + 10*a) - 15*b*sin(8*b*x^2 + 8*a) + 20*b*sin(6*b*x^2 + 6*a) - 15*b*si
n(4*b*x^2 + 4*a) + 6*b*sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin(12*b*x^2 + 12*a) - 12*(15*b*sin(8*b*x^2 + 8*a) - 20*b*sin(6*b*x
^2 + 6*a) + 15*b*sin(4*b*x^2 + 4*a) - 6*b*sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin(10*b*x^2 + 10*a) - 30*(20*b*sin(6*b*x^2 + 6*
a) - 15*b*sin(4*b*x^2 + 4*a) + 6*b*sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin(8*b*x^2 + 8*a) - 120*(5*b*sin(4*b*x^2 + 4*a) - 2*b*
sin(2*b*x^2 + 2*a))*sin(6*b*x^2 + 6*a) + b)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 0.497558, size = 463, normalized size = 5.14 \begin{align*} \frac{30 \, \cos \left (b x^{2} + a\right )^{5} - 80 \, \cos \left (b x^{2} + a\right )^{3} - 15 \,{\left (\cos \left (b x^{2} + a\right )^{6} - 3 \, \cos \left (b x^{2} + a\right )^{4} + 3 \, \cos \left (b x^{2} + a\right )^{2} - 1\right )} \log \left (\frac{1}{2} \, \cos \left (b x^{2} + a\right ) + \frac{1}{2}\right ) + 15 \,{\left (\cos \left (b x^{2} + a\right )^{6} - 3 \, \cos \left (b x^{2} + a\right )^{4} + 3 \, \cos \left (b x^{2} + a\right )^{2} - 1\right )} \log \left (-\frac{1}{2} \, \cos \left (b x^{2} + a\right ) + \frac{1}{2}\right ) + 66 \, \cos \left (b x^{2} + a\right )}{192 \,{\left (b \cos \left (b x^{2} + a\right )^{6} - 3 \, b \cos \left (b x^{2} + a\right )^{4} + 3 \, b \cos \left (b x^{2} + a\right )^{2} - b\right )}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*csc(b*x^2+a)^7,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/192*(30*cos(b*x^2 + a)^5 - 80*cos(b*x^2 + a)^3 - 15*(cos(b*x^2 + a)^6 - 3*cos(b*x^2 + a)^4 + 3*cos(b*x^2 + a
)^2 - 1)*log(1/2*cos(b*x^2 + a) + 1/2) + 15*(cos(b*x^2 + a)^6 - 3*cos(b*x^2 + a)^4 + 3*cos(b*x^2 + a)^2 - 1)*l
og(-1/2*cos(b*x^2 + a) + 1/2) + 66*cos(b*x^2 + a))/(b*cos(b*x^2 + a)^6 - 3*b*cos(b*x^2 + a)^4 + 3*b*cos(b*x^2
+ a)^2 - b)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x \csc ^{7}{\left (a + b x^{2} \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*csc(b*x**2+a)**7,x)

[Out]

Integral(x*csc(a + b*x**2)**7, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [B]  time = 1.19258, size = 285, normalized size = 3.17 \begin{align*} -\frac{\frac{{\left (\frac{9 \,{\left (\cos \left (b x^{2} + a\right ) - 1\right )}}{\cos \left (b x^{2} + a\right ) + 1} - \frac{45 \,{\left (\cos \left (b x^{2} + a\right ) - 1\right )}^{2}}{{\left (\cos \left (b x^{2} + a\right ) + 1\right )}^{2}} + \frac{110 \,{\left (\cos \left (b x^{2} + a\right ) - 1\right )}^{3}}{{\left (\cos \left (b x^{2} + a\right ) + 1\right )}^{3}} - 1\right )}{\left (\cos \left (b x^{2} + a\right ) + 1\right )}^{3}}{{\left (\cos \left (b x^{2} + a\right ) - 1\right )}^{3}} + \frac{45 \,{\left (\cos \left (b x^{2} + a\right ) - 1\right )}}{\cos \left (b x^{2} + a\right ) + 1} - \frac{9 \,{\left (\cos \left (b x^{2} + a\right ) - 1\right )}^{2}}{{\left (\cos \left (b x^{2} + a\right ) + 1\right )}^{2}} + \frac{{\left (\cos \left (b x^{2} + a\right ) - 1\right )}^{3}}{{\left (\cos \left (b x^{2} + a\right ) + 1\right )}^{3}} - 60 \, \log \left (-\frac{\cos \left (b x^{2} + a\right ) - 1}{\cos \left (b x^{2} + a\right ) + 1}\right )}{768 \, b} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x*csc(b*x^2+a)^7,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/768*((9*(cos(b*x^2 + a) - 1)/(cos(b*x^2 + a) + 1) - 45*(cos(b*x^2 + a) - 1)^2/(cos(b*x^2 + a) + 1)^2 + 110*
(cos(b*x^2 + a) - 1)^3/(cos(b*x^2 + a) + 1)^3 - 1)*(cos(b*x^2 + a) + 1)^3/(cos(b*x^2 + a) - 1)^3 + 45*(cos(b*x
^2 + a) - 1)/(cos(b*x^2 + a) + 1) - 9*(cos(b*x^2 + a) - 1)^2/(cos(b*x^2 + a) + 1)^2 + (cos(b*x^2 + a) - 1)^3/(
cos(b*x^2 + a) + 1)^3 - 60*log(-(cos(b*x^2 + a) - 1)/(cos(b*x^2 + a) + 1)))/b